函数式编程和J编程语言

　　当掷硬币大量的次数，头朝上的数量比上投掷的总数应该会接近0.5. 然而，但是头朝上和底朝上的次数差的绝对值可能会非常巨大.  这可以使用下面的试验来描述, 结果显示在图 5 和 6 中.

   toss =: >: i. n =: 500   NB. 500 coin tosses
   heads =: +/\?n$2
   ratio =: heads % toss
   diff =: |toss - 2*heads

   toss =: >: i. n =:10  NB. a small trial
   toss;ratio
+--------------------+------------------------------------------------------------+
|1 2 3 4 5 6 7 8 9 10|1 0.5 0.666667 0.75 0.6 0.666667 0.714286 0.625 0.555556 0.5|
+--------------------+------------------------------------------------------------+
   toss;diff
+--------------------+-------------------+
|1 2 3 4 5 6 7 8 9 10|1 0 1 2 1 2 3 2 1 0|
+--------------------+-------------------+

图 5:  头朝上的比率

图 6:  头朝上和底朝上的差值

5.4 Groups

我们可以从数论来试验一些基本的想法来证明J的表现力.

   12 +. 5  NB. greatest common divisor
1
   27 +. 3
3
   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 +. 12
1 2 3 4 1 6 1 4 3 2 1 12
   NB. The numbers <: 12 which are coprime with 12
   (1 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 +. 12) #  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 5 7 11
   NB. The numbers <: 12 which have common factors with 12
   (-. 1 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 +. 12) #  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 3 4 6 8 9 10 12
   NB. 8 9 19 have common factors but do not divide 12
   ((-. 1 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 +. 12) #  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12) | 12
0 0 0 0 4 3 2 0

接下来，我们概括这些表达式作为函数totatives和non_totatives。

   totatives =: 3 : 0
p =. >: i. y.
(1 = p +. y.) # p
)
   non_totatives =: 3 : 0
p =. >: i. y.
(-. 1 = p +. y.) # p
)
   totatives 12
1 5 7 11
   totatives 28
1 3 5 9 11 13 15 17 19 23 25 27
   non_totatives 12
2 3 4 6 8 9 10 12
   non_totatives 15
3 5 6 9 10 12 15
   divisors =: 3 : 0
p =. non_totatives y.
(0 = p | y.) # p
)
   divisors "0 (12 27 100)
2 3  4  6 12  0  0   0
3 9 27  0  0  0  0   0
2 4  5 10 20 25 50 100

totatives 函数中n的数量被称为n的欧拉函数. 我们可以定义totient =: # @ totatives.  另一种隐形的定义是phi =: * -.@%@~.&.q:.

   (totient "0) 100 12
40 4
   phi 100 12
40 4

欧拉定理指出给定一个整数  与互质, 然后 . 这导致了定义:

   euler =: 4 : 'x. (y.&| @ ^) totient y.'
   2 euler 19
1
   2 euler 35
1
   3 euler 28
1
   3 euler 205
1
   3 euler 200005
1

两个 totatives 中 的产物 ,  是一个 totative 中 n. 我们可以使用J的表 (/) 副词看到这一点.

   totatives 12
1 5 7 11
   12 | 1 5 7 11 */ 1 5 7 11
 1  5  7 11
 5  1 11  7
 7 11  1  5
11  7  5  1

我们注意到，我们有一组（封闭，单位元，逆，和关联性）。有一个表副词可以用来展示上述的结果。

   table
1 : 0
u.table~ y.
:
(' ';,.x.),.({.;}.)":y.,x.u./y.
)
   12&|@* table totatives 12
+--+-----------+
|  | 1  5  7 11|
+--+-----------+
| 1| 1  5  7 11|
| 5| 5  1 11  7|
| 7| 7 11  1  5|
|11|11  7  5  1|
+--+-----------+

请注意，12的totatives的另外残基12不形成一个组。

    12&|@+ table 0 , totatives 12
+--+------------+
|  | 0 1  5 7 11|
+--+------------+
| 0| 0 1  5 7 11|
| 1| 1 2  6 8  0|
| 5| 5 6 10 0  4|
| 7| 7 8  0 2  6|
|11|11 0  4 6 10|
+--+------------+